El número [tex]30^9[/tex] tiene entre sus divisores a 125 números cuadrados perfectos.
¿Cómo hallar la cantidad de cuadrados perfectos?
Podemos empezar descomponiendo al número 30 en sus factores primos, que son 2, 3 y 5 y nos queda:
[tex]30^9=(2.3.5)^9=2^9.3^9.5^9[/tex]
Los divisores de este número serán todos los números cuya forma factorizada sea [tex]2^a.3^b.5^c[/tex], donde los exponentes 'a', 'b' y 'c' pueden tomar cualquier valor entero entre 0 y 9. Para que los divisores sean cuadrados perfectos, estos números además tienen que ser números pares.
Entonces, los exponentes pueden tomar como valores los números 0, 2, 4, 6 y 8. Entonces, los divisores cuadrados perfectos serán tantos como combinaciones de tres números con 5 posibilidades existan:
[tex]n=5^3=125[/tex]
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