Respuesta :
Respuesta:
[tex]\frac{27}{8}arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )-(\frac{x^{3} }{4}+\frac{9x}{8} )\sqrt{3-x^{2} } +C[/tex]
Explicación:
Dada la integral
[tex]\int \frac{x^{4} }{\sqrt{3-x^{2} } } dx[/tex]
Para resolver la integral, realizamos la siguiente transformación
[tex]\,\,\,\,\,\,\,\,\,caso\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Cambio\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Diferencial\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Transformacion\\\sqrt{a^{2}- u^{2} } \,\,\,\,\,\,u=asen(z)\,\,\,\,\,\,du=acos(z)dz\,\,\,\,\,\,\sqrt{a^{2} -u^{2} }=acos(z)[/tex]
Realizamos los cambios propuestos
[tex]u^{2}=x^{2}\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,\,u=x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a^{2}=3\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\, a=\sqrt{3}[/tex]
Cambiando los elementos, se sustituyen en la integral
[tex]x=\sqrt{3}sen(z)\,\,\,\,\,\,\,\,dx=\sqrt{3}cos(z)dz\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt{3-x^{2} } =\sqrt{3}cos(z)[/tex]
[tex]\int \frac{(\sqrt{3}\,sen(z) )^{4}\sqrt{3}\,cos(z) }{\sqrt{3} \,cos(z)} \,dz= \int \sqrt{3^{4} }sen^{4}(z)dz =9\int sen^{4}(z) dz[/tex]
Cuando tenemos una integral de la forma [tex]\int sen^{m}(v)\,dv[/tex] y [tex]\int cos^{n}(v)\,dv[/tex], con [tex]m[/tex] y [tex]n[/tex] par, utilizamos las identidades trigonométricas del doble de un ángulo
[tex]sen(v)cos(v)=\frac{1}{2}sen(2v)\,\,\,\,\,\,\,\,\,sen^{2}(v)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(2v)\,\,\,\,\,\,\,\,\,cos^{2}(v)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2v)[/tex]
de esta manera resolvemos la integral
[tex]9\int sen^{4}(z)dz =9\int (sen^{2}(z) )^{2} dz=\int (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos(2z ))^{2}dz[/tex]
[tex]=9\int (\frac{1}{4} -\frac{1}{2}cos(2z)+\frac{1}{4}cos^{2}(2z) )dz[/tex]
ahora se transforma la potencia par de [tex]cos(2z)[/tex] utilizando la identidad
[tex]cos^{2}\,v=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2v)[/tex]
entonces,
[tex]9\int (\frac{1}{4} -\frac{1}{2}cos(2z)+\frac{1}{4}[\frac{1}{2} +\frac{1}{2}cos(4z)] ) dz=9\int(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}cos(2z)+\frac{1}{8} +\frac{1}{8}cos(4z) )dz[/tex]
[tex]=9\int(\frac{3}{8} -\frac{1}{2}cos(2z)+\frac{1}{8}cos(4z) )dz=\frac{27}{8}z-\frac{9}{4}sen(2z)+\frac{9}{32}sen(4z)+C[/tex]
Este resultado se cambia a términos algebraicos por medio del triángulo.
recordemos que el seno de un ángulo es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa, por lo tanto
[tex]sen\,z=\frac{u}{a}=\frac{x}{\sqrt{3} }[/tex]
despejando para [tex]z[/tex] obtenemos
[tex]z=arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )[/tex]
sustituyendo en [tex]\frac{27}{8}z-\frac{9}{4}sen(2z)+\frac{1}{32}sen(4z)+C[/tex] obtenemos
[tex]\frac{27}{8}arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )-\frac{9}{4}sen(2(arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )))+\frac{9}{32}sen(4(arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )))+C[/tex]
No obtante
[tex]sen(2\, arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } ))=\frac{2x}{3} \sqrt{3-x^{2} }[/tex]
y
[tex]sen(4\, arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } ))=-\frac{4x}{3}(\frac{2x^{2} }{3} -1)\sqrt{3-x^{2} }[/tex]
Y así obtenemos
[tex]\frac{27}{8}arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )-\frac{9}{4}(\frac{2x}{3} )\sqrt{3-x^{2} } -\frac{9}{32}(\frac{4x}{3} )(\frac{2x^{2} }{3} -1)\sqrt{3-x^{2} }[/tex]
[tex]\frac{27}{8}arc sen(\frac{x}{\sqrt{3} } )-(\frac{x^{3} }{4}+\frac{9x}{8} )\sqrt{3-x^{2} } +C[/tex]
--------------------
Nota, para encontrar el valor de [tex]sen(2\,arc sen\frac{x}{\sqrt{3} } )[/tex]
sea
[tex]y=arc sen\frac{x}{\sqrt{3} }\\[/tex]
entonces
[tex]sen(2\, acsen(\frac{x}{\sqrt{3} } ))=sen(2y) =2sen(y)cos(y)[/tex]
por medio del triángulo sabemos que
[tex]sen(y)=\frac{x}{\sqrt{3} }[/tex]
[tex]cos(y)=\frac{\sqrt{3-x^{2} } }{\sqrt{3} }[/tex]
por lo tanto
[tex]sen(2\, acsen(\frac{x}{\sqrt{3} } ))=sen(2y) =2(\frac{x}{\sqrt{3} } )(\frac{\sqrt{3-x^{2} } }{\sqrt{3} } )=\frac{2x}{3}\sqrt{3-x^{2} }[/tex]
Para [tex]sen(4\,arc sen\frac{x}{\sqrt{3} } )[/tex]
sea
[tex]y=arc sen\frac{x}{\sqrt{3} }\\[/tex]
Entonces
[tex]sen(4y)=2cos(2y)sen(2y)[/tex]
No obstante
[tex]cos(2y)=1-2sen^{2}y=1-2sen(y)sen(y)[/tex]
sustituyendo obtenemos
[tex]sen(4y)=2[1-2sen(y)sen(y)][2sen(y)cos(y)][/tex]
[tex]=4[1-2(\frac{x}{\sqrt{3} }) (\frac{x}{\sqrt{3} } ) ][(\frac{x}{\sqrt{3} } )(\frac{\sqrt{3-x^{2} } }{\sqrt{3} } )]=4[1-\frac{2x^{2} }{3} } ][\frac{x}{3}\sqrt{3-x^{2} } ]=-4x(\frac{2x^{2} }{3} -1)\sqrt{3-x^{2} }[/tex]
