Respuesta :
Para construir el tanque se necesitan como mínimo 54 metros cuadrados de acero inoxidable.
Explicación paso a paso:
Si el tanque de agua tiene forma de prisma cuadrado, el volumen del mismo es:
[tex]V=l^2.h=27m^3[/tex]
A la vez, el área de acero inoxidable que se va a utilizar para construir el tanque es:
[tex]A=2l^2+4.l.h[/tex]
Siendo esta la expresión que se va a minimizar. Se puede reemplazar la altura por esta expresión:
[tex]h=\frac{27}{l^2}[/tex]
[tex]A=2l^2+4.l.\frac{27}{l^2}=2l^2+\frac{108}{l}=\frac{2l^3+108}{l}[/tex]
Para minimizar la función la tenemos que derivar e igualarla a cero:
[tex]A'=\frac{(6l^2).l-(2l^3+108)}{l^2}=0\\\\6l^3-2l^3-108=0\\\\4l^3-108=0\\\\l=\sqrt[3]{\frac{108}{2}}=3m[/tex]
La altura del tanque es:
[tex]h=\frac{27m^3}{(3m)^2}=3m[/tex]
El tanque es cúbico, y el área de acero inoxidable es:
[tex]A=6.l^2=6.(3m)^2=54m^2[/tex]