Un fabricante dispone de láminas de acero inoxidable y con ellas quiere construir un tanque de agua de base cuadrada con una capacidad de 27 m3.

¿Cuántos m2 de las láminas de acero se necesita para su construcción, si el fabricante desea que sea lo mínimo posible?


Respuesta :

Para construir el tanque se necesitan como mínimo 54 metros cuadrados de acero inoxidable.

Explicación paso a paso:

Si el tanque de agua tiene forma de prisma cuadrado, el volumen del mismo es:

[tex]V=l^2.h=27m^3[/tex]

A la vez, el área de acero inoxidable que se va a utilizar para construir el tanque es:

[tex]A=2l^2+4.l.h[/tex]

Siendo esta la expresión que se va a minimizar. Se puede reemplazar la altura por esta expresión:

[tex]h=\frac{27}{l^2}[/tex]

[tex]A=2l^2+4.l.\frac{27}{l^2}=2l^2+\frac{108}{l}=\frac{2l^3+108}{l}[/tex]

Para minimizar la función la tenemos que derivar e igualarla a cero:

[tex]A'=\frac{(6l^2).l-(2l^3+108)}{l^2}=0\\\\6l^3-2l^3-108=0\\\\4l^3-108=0\\\\l=\sqrt[3]{\frac{108}{2}}=3m[/tex]

La altura del tanque es:

[tex]h=\frac{27m^3}{(3m)^2}=3m[/tex]

El tanque es cúbico, y el área de acero inoxidable es:

[tex]A=6.l^2=6.(3m)^2=54m^2[/tex]