Los puntos P1 (2, 7/3) y P2 (3, 5/3) dividen al segmento de extremos A (1,3) y B (4, 1) en tres partes iguales.
Explicación paso a paso:
Sabemos que los puntos P1 y P2 dividen al segmento AB en tres partes iguales. Eso significa que la distancia AP1 y BP2 son iguales, también que AP2 es el doble de AP1 y que BP1 es el doble de BP2.
Llamemos r1 a la razón en que el punto P1 divide al segmento A (x₁, y₁) B (x₂, y₂).
r1 = AP1/P1B = 1/2 es decir, la razón en que el punto P1 divide el segmento AB es la razón entre las longitudes de los segmentos AP1 y P1B.
De aquí se deduce la fórmula:
[tex]\bold{r1~=~\dfrac{xP1~-~x_{1}}{x_{2}~-~xP1}}[/tex]
De la fórmula podemos despejar xP1
[tex]\bold{xP1~=~\dfrac{r1\cdot x_{2}~+~x_{1}}{1~+~r1}~=~\dfrac{(\frac{1}{2})\cdot(4)~+~(1)}{1~+~(\frac{1}{2})}~=~2}[/tex]
Para hallar yP1 construimos la ecuación de la recta usando la llamada ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
[tex]\bold{(y~-~y_{1})~=~\dfrac{y_{2}~-~y_{1}}{x_{2}~-~x_{1}}(x~-~x_{1})}[/tex]
[tex]\bold{(y~-~3)~=~\dfrac{1~-~3}{4~-~1}(x~-~1) \qquad \Rightarrow \qquad y~=~-\dfrac{2}{3}x~+~\dfrac{11}{3}}[/tex]
[tex]\bold{ yP1~=~-\dfrac{2}{3}(2)~+~\dfrac{11}{3} \qquad \Rightarrow \qquad yP1~=~\dfrac{7}{3}}[/tex]
Las coordenadas del punto P1 son: (2, 7/3)
Llamemos r2 a la razón en que el punto P2 divide al segmento A (x₁, y₁) B (x₂, y₂).
r2 = AP2/P2B = 2 es decir, la razón en que el punto P2 divide el segmento AB es la razón entre las longitudes de los segmentos AP2 y P2B. De aquí se deduce la fórmula:
[tex]\bold{r2~=~\dfrac{xP2~-~x_{1}}{x_{2}~-~xP2}}[/tex]
De la fórmula podemos despejar xP2
[tex]\bold{xP2~=~\dfrac{r2\cdot x_{2}~+~x_{1}}{1~+~r2}~=~\dfrac{(2)\cdot(4)~+~(1)}{1~+~(2)}~=~3}[/tex]
Para hallar yP2 sustituimos en la ecuación de la recta:
[tex]\bold{ yP2~=~-\dfrac{2}{3}(3)~+~\dfrac{11}{3} \qquad \Rightarrow \qquad yP2~=~\dfrac{5}{3}}[/tex]
Las coordenadas del punto P2 son: (3, 5/3)
Los puntos P1 (2, 7/3) y P2 (3, 5/3) dividen al segmento de extremos A (1,3) y B (4, 1) en tres partes iguales.
